Oršanić nasce a Zabok, Croatia. Trascorre la sua infanzia a Varaždin dove inizia la sua educazione musicale. Intraprende lo studio del pianoforte all’età di 7 anni e inizia a cantare all’età di 14 sotto la guida di Ankica Opolski. A 16 anni viene ammessa all’Accademia di Musica di Ljubljana nella classe di Ondina Otta-Klasinc. Conclusi i suoi studi nel 1979, debutta come Sophie in Werther al Ljubljana Slovene National Theatre Opera and Ballet. Successivamente viene ingaggiata dal teatro stesso come solista e inizia ad apparire come ospite in altri teatri della ex-Jugoslavia. Dal 1985 al 1990 vive a Vienna, dove si perfeziona in tecnica di canto solista con Olivera Miljaković.
Il 1990 vede l’inizio della carriera internazionale della Oršanić. Canta allo Salzburg State Theatre dove interpreta Despina in Così fan tutte, Bastienne in Bastien und Bastienne, Euridice in Orfeo ed Euridice e Tamiri ne Il re pastore.
Continua a cantare come artista ospite in vari teatri in Europa e dal 1992 al 1995 è solista allo Staatstheater di Darmstadt. Nel 2003 ritorna allo Slovene National Theatre Opera in Ljubljana in qualità di soprano principale. Nello stesso anno inizia la sua carriera di insegnante di canto.
Oršanić è docente presso l’Academy of Music di Zagreb ed è a capo del Dipartimento di Canto dal 2007. Oršanić è inoltre co-fondatrice e Direttore del Zinka Milanov International Competition for young opera singers.